专项06 勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项06 勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型） “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺. 【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺. 【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺. 由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55. 答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺 此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案. 【典例1】如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（　　） A．9米 B．15米 C．21米 D．24米 【答案】D 【解答】解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝15米． 所以大树的高度是15+9＝24米． 故选：D． 【变式1】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为（　　） A．米 B．米 C．4 米 D．（+1）米 【答案】D 【解答】解：Rt△ABC中，AC＝1米，AB＝3米； 由勾股定理，得：BC＝＝米； ∴树的高度为：AC+BC＝（+1）米； 故选：D． 【典例2】我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？” 译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为 　 　尺． 【答案】 【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺， 在Rt△ABC中， 由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2， x2﹣（x﹣3）2＝82， 解得：x＝， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 【变式2】折竹抵地（源自《九章算术》）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有 　 　尺竹子．（1丈＝10尺） 【答案】4.55 【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2． 解得：x＝4.55． 答：原处还有4.55尺高的竹子． 故答案为：4.55． 1．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 　 　． 【答案】18米 【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边， ∴AB2+AC2＝BC2， ∵AB＝5米，AC＝12米， ∴BC＝＝13米， 大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米． 故答案为：18米． 2．《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 　 　尺． 【答案】4.55 【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺， 由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2， 解得x＝4.55， ∴折断处离地面的高度为4.55尺， 故答案为：4.55． 3．如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有 　 米（保留到0.1米）． 【答案】13.6　 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝≈8.6米， 5+8.6＝13.6米． 故答案为：13.6． 4．如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处断裂，大树顶端落在离底部8m处，则大树折断之前高为 　　m． 【答案】16 【解答】解：设树的总高度为h，由勾股定理得：BC2＝AC2+AB2， BC＝＝＝10m， ∵AC＝6m，∴h＝AC+BC＝10+6＝16m． 5．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有　　米． 【答案】8 【解答】解：∵32+42＝25，＝5，5+3＝8m， ∴树折断之前的高度为8米． 故答案为：8． 6．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处