专项05 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项05 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型） 弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型. （一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. （二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. 【类型一：内弦图模型】 【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．56 B．24 C．64 D．32 【答案】A 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝82+62＝100 所以x＝10 所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56． 故选：A． 【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（　　） A．8 B．16 C．4 D．4+4 【答案】B 【解答】解：∵S1＝AC2＝4， ∴AC＝2， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝4， ∴S3＝AB2＝16， 故选：B． 【变式1-2】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．16 C．14 D．14 【答案】D 【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长＝24﹣10＝14， ∴EF＝＝14． 故选：D． 【变式1-3】公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【解答】解：如图， ∵勾a＝3，弦c＝5， ∴股b＝＝4， ∴小正方形的边长＝4﹣3＝1， ∴小正方形的面积＝12＝1， 故选：A． 【类型二：外弦图模型】 【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 【变式2】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， ∵S1+S2+S3＝45， ∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45， 即3S2＝45， 解得S2＝15． 故选：B． 1．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 【答案】C 【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方， ∴直角三角形①中较短的直角边长5cm， ∵直角三角形①中较长的直角边长12cm， ∴直角三角形 ①的面积＝（cm2）， 故选：C． 2．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　） A．7 B．8 C．7 D．7 【答案】C 【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时， 小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴EF＝； 故选：C． 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：10 【答案】C 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4， ∴小正方形的边