专项04 勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项04 勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型） （1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等. （2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 【类型一：折叠构造直角三角形】 【典例1】（保定二模）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x ∵D是BC的中点，∴BD＝3 在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．即BN＝4，选A 【变式1-1】如图所示的三角形纸片中∠B＝90°，AC＝13，BC＝5．现将纸片进行折叠，使得顶点D落在AC边上，折痕为AE．则BE的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5， ∴AB＝＝12， 设BE＝x， 由折叠的性质可得：CD＝AC﹣AD＝13﹣12＝1，DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣x， 在Rt△DEC中，EC2＝CD2+DE2， ∴（5﹣x）2＝1+x2， 解得：x＝2.4， ∴BE＝2.4． 故选：A． 【类型二：折叠构造三垂直图形】 【典例2】（2020春•西城区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 （1）求CE的长； （2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 【解答】（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10 ∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10 由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6 ∴CF＝BC﹣BF＝4 设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x 在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2 ∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3 （2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P 此时，PA+PE最小，最小值为AE' ∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11 在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE' 【变式2】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米． （1）求BF与FC的长． （2）求EC的长． 【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE， ∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF． ∵AD＝BC＝10cm， ∴AF＝AD＝10cm． 又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2 ∴82+BF2＝102， ∴BF＝6cm， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm． （2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm． 在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 即16+x2＝64﹣16x+x2， 化简，得16x＝48， ∴x＝3， 故EC的长为3cm． 【类型三 ：折叠构造全等三角形】 【典例3】（思明区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为（　　） A．﹣2 B．﹣2.4 C． D． 【解答】∵点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），∴OA＝8，OC＝4 由折叠得：∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4，BD＝BC，∠ODB＝∠OCB ∵四边形ABCO是矩形 ∴BC∥OA，OC＝AB＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，BC＝OA＝8 ∴∠CBO＝∠BOA，∠ODE＝90°，BD＝OA，∴∠DBO＝∠BOA ∴BE＝OE，∴DE＝AE 设AE＝x，则BE＝OE＝8﹣x 在Rt△ABE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3 即OE＝5，DE＝AE＝3 过D作DF⊥OA于F ∵S△OEDOD•DEOE•DF，∴DF2.4 ∴点D的纵坐标为﹣2.4，选B 【变式3-1】（红河州期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为　 　． 【解答】在Rt△ABC中，AB10 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，DE＝BD ∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2 在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2，∴BD2＝（6﹣BD）2+4 ∴BD 【变式3-2】（成华区期末）如图