专项03 直角三角形中锐角平分线模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项03 直角三角形中锐角平分线模型综合应用 【模型】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=6，BC=8，AD是△ABC的角平分线，求DC的长. 【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E， 则△ACD≌△AED(AAS)， ∴AE=AC=6. 在Rt△ABC中，由勾股定理 得=10 易知EB=设DC=x， 则DE=x，DB=8 - x， 在Rt△DEB中，由勾股定理 解得x=3，∴DC=3. 【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程． 【解答】解：能 ∵BC2+AC2＝225，AB2＝225 ∴AB2＝BC2+AC2． ∴∠C＝90° ∵折叠 ∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90° ∴BE＝AB﹣AE＝6cm 在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2． ∴BD2＝（12﹣BD）2+36 ∴BD＝ 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为　 　cm． 【答案】4 【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴CD＝DE． 又∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC． 又∵AC＝BC， ∴AE＝BC， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm， ∴AB＝4cm． 故填4 【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∵△AED是△ACD翻折而成， ∴AE＝AC＝6cm， 设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm， 在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2， 即（8﹣x）2＝42+x2， 解得x＝3． 故CD的长为3cm． 【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 　　． 【答案】cm 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10， 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10， ∵AC＝8， ∴CE＝AE﹣AC＝2， 即CE的长为2， 设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE， 在Rt△CDE中，根据勾股定理得 CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2， 解得x＝， 即CD长为cm． 故答案为：cm． 【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒． （1）求BC的长； （2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离； （3）当AP＝CQ时，求t的值？ 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm， ∴BC＝＝24cm． （2）如图，连接PQ， BP＝7﹣2＝5， BQ＝6×2＝12， 在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）； （3）设t秒后，AP＝CQ．则 t＝24﹣6t， 解得 t＝． 答：P、Q两点运动秒，AP＝CQ． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）当△ABP为直角三角时，求t的值； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm）， ①当∠APB＝90°时，点P与点C重合， BP＝BC＝8， ∴t＝8， ②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6， 在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， ∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2， 解得：t＝， 综上所述，t＝8或； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：BC＝＝8（cm）， ∵△ABP为等腰三角形， 当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16； 当BA＝BP＝10cm时，则t＝10； 当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x， 在Rt△ACP中，由勾股定理得： PC2+AC2＝AP2， ∴（8﹣x）2+62＝x2， 解得x