专项10 勾股定理之垂美四边形模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项10勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3大类型） 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【典例1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则 ①求证：△AGB≌△ACE ②GE＝　 　． 【解答】解：概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； 性质探究：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下： 如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 问题解决：①连接CG，BE，如图2所示： ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△AGB和△ACE中， ∵， ∴△AGB≌△ACE（SAS）； ②∵△AGB≌△ACE， ∴∠ABG＝∠AEC， 又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝2，AB＝5， ∴BC＝，CG＝2，BE＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37， ∴GE＝； 故答案为：． 【变式1-1】四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2． （1）求证：AC⊥CD； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6， ∴AC＝， ∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴AC⊥CD； （2）解：四边形ABCD的面积＝＝9+3． 【变式1-2】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 　 　（填序号）； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3． ①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由； ②求GE的长． 【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：③④． （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， 又∠AEC+∠AOE＝90°， ∴∠ABG+∠AOE＝90°， 即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形； ②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝，AB＝3， ∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24， ∴GE＝2． 1．如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 　 ． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD． （2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明