专项09 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3大类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项09 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3大类型） 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【典例1】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝10×＝5（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC＝（cm）． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 故选：B． 【变式1-1】如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为2cm， ∴BC＝＝2π≈6cm， 在Rt△ABC中， ∵AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝＝10cm． 故选：A． 【变式1-2】（2021春•济南月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为40cm，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A．20cm B．18cm C．25cm D．40cm 【答案】C 【解答】解：如图：是侧面展开图的一半， ∵高为15cm，底面周长为40cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝20（cm），BD＝15﹣3+AE＝15（cm）， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝＝25（cm）． 故选：C． 【典例2】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是　　cm． 【答案】25 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC＝CD+AD＝20+10＝30， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB＝； ∵25＜5， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25． 故答案为：25 【变式2-1】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（　　） A． B． C．5 D．2+ 【答案】A 【解答】解：展开正方体的点M所在的面， ∵BC的中点为M， 所以MC＝BC＝1， 在直角三角形中AM＝＝． 故选：A． 【变式2-2】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是　15　cm． 【答案】15 【解答】解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）； 当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）； 当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）； ∵15＜7＜， ∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm， 故答案为：15． 【典例3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 　 　米． 【答案】2.5 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x， 由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52， 解得x＝2.5． 【变式