专题08锐角三角函数及其应用（上海真题10道+模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用） 专题08锐角三角函数及其应用 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点 考查年份 考查频率 锐角三角函数及其应用（大题） 2012.2013.2014.2015.2016.2017. 2018.2020.2021.2022 11年10考 锐角三角函数及其应用是上海市近几年必考的解答题，常见的考法有两种：解直角三角形、锐角三角函数的实际应用. 1. 锐角三角函数基础知识： 2.解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线． （1）求AC的长； （2）求tan∠FBD的值． 【例2】（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2012•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cosA＝． （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值． 2．（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）． （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．） 3．（2014•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH． （1）求sinB的值； （2）如果CD＝，求BE的值． 4．（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响． （1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7） 5．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值． 6．（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC． （1）求sinB的值； （2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长． 7．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝． （1）求边AC的长； （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 8．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，E