专题07圆的有关计算与证明综合问题（上海真题10道+模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用） 专题07圆的有关计算与证明综合问题（上海真题10道+模拟30道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点 考查年份 考查频率 圆的有关计算与证明综合问题 （大题） 2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018. 2020.2021.2022 12年10考 圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在上海市的2011-2022年12年中考中出现了10次，常见的圆的基础知识和解题技巧如下： 1、圆中的重要定理: (1)圆的定义: 主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题. (2)垂径定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论 : 主要用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理: 主要用来证明垂直关系 . (6)切线的判断定理: 主要用来证明直线是圆的切线 . (7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等 . 2.圆中几个要点元素之间的相互转变 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变 . 这在圆中的证明和计算中常常用到 . 3.判断切线的方法： （ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。 常有手法有： 全等转变； 平行转变； 直径转变； 中线转变等； 有时可经过计算联合相像、 勾股定理证垂直； （ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。 常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线； 4、考题形式剖析： 主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要判断切线、证明角或线段相等；第2 问主要与圆有关的计算： ①求线段长（或面积） ；②求线段比；③求角度的三角函数值（本质仍是求线段比） 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 【例2】（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点． （1）证明：OP⊥EF； （2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形． 【例3】（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE． （1）如果AE＝CE． ⅰ．求证：▱ABCD为菱形； ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长； （2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2011•上海）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若tan∠C＝，求弦MN的长． 2．（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 3．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 4．（2015•上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB＝20，cos∠AOC＝，设OP＝x，△CPF的面积为y． （1）求证：AP＝OQ； （2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长． 5．（2016•上海）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD． （1）求证：AD＝CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 6．（2017•上海）如图，已知⊙O的