第11课 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 ( 目标导航 ) 课程标准 （1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； （2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； （3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数与之间的相互关系 1．顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2．一般式化成顶点式 ． 对照，可知 ， ． ∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【注意】 1．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点02 二次函数的图象的画法 1．一般方法 列表、描点、连线 2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与 的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点03 二次函数的图象与性质 1．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记： 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记： 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有 最 值， 抛物线有最高点，当时，y有 最 值， 2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 b2-4ac 与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 时， ． 【注意】 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． ( 能力拓展 ) 考法01 二次函数的图象与性质 【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（       ） A．③④ B．①② C．②③ D．②③④ 【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（