专题20 【两年高考+一年模拟】圆锥曲线综合题-备战2023年河北新高考数学真题模拟题分类汇编

专题20 圆锥曲线综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）将点代入双曲线方程得， 化简得，，故双曲线方程为， 由题显然直线的斜率存在，设，设，，， 则联立双曲线得：， 故，， ， 化简得：， 故， 即，而直线不过点，故； （2）设直线的倾斜角为，由， ，得 由，， 得，即， 联立，及得， 代入直线得，故 而，由，得故 ． 2．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 【答案】（1）；（2）0 【详解】（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为， 根据题意，解得， 的方程为； （2）（法一）设，直线的参数方程为， 将其代入的方程并整理可得，， 由参数的几何意义可知，，，则， 设直线的参数方程为，，，同理可得，， 依题意，，则， 又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0． （法二）设，直线的方程为，，，，，设， 将直线方程代入的方程化简并整理可得，， 由韦达定理有，， 又由可得， 同理可得， ， 设直线的方程为，设， 同理可得， 又，则，化简可得， 又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0． 3．（2022•衡水模拟）已知动圆恒过定点，且动圆被轴所截得的弦长为4． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）过点的直线与轨迹相交于不同的，两点．求证：存在定点，使得直线与关于直线对称． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 【详解】设动圆圆心， 由题意，可得， 两边平方整理得， 所以圆心的轨迹方程为； 由题意，直线经过点， 设，，，，直线的方程为， 由，得， ，， ，， 假设存在定点，使得直线与关于直线对称． 则，即，， ，对恒成立， ， 存在定点，使得直线与关于直线对称． 4．（2022•沧州二模）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆的方程是． （2）点是在定直线上，理