专题18 【两年高考+一年模拟】立体几何综合题-备战2023年河北新高考数学真题模拟题分类汇编

专题18 立体几何综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）由直三棱柱的体积为4，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得． （2）连接交于点，，四边形为正方形， ，又平面平面，平面平面， 平面，， 由直三棱柱知平面，，又， 平面，， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，又，解得， 则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， 则，2，，，1，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 平面的一个法向量为，0，， 设平面的一个法向量为，，， ，令，则，， 平面的一个法向量为，1，， ，， 二面角的正弦值为． 2．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）方法一： 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，1，， 设，0，，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 又， 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以， 又，所以， 故． 方法二： 过作，交于点，过作于点，连结， 由题意可知，，又平面 所以平面，又平面， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， 则为二面角的平面角，即， 又， 所以，则， 故， 所以， 因为， 则， 所以，则， 所以，则， 所以． 3．（2022•衡水模拟）在多面体中，，，平面平面，侧面为菱形，且，为棱的中点． （1）若为上一点，且满足平面，确定点的位置； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）作法，过作交于，过作交于，则点为所求作的点， 理由，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故所作的点符合条件且为的中点． （2）过在