专题16 【两年高考+一年模拟】数列综合题-备战2023年河北新高考数学真题模拟题分类汇编

专题16 数列综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）已知，是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当时，，②， ①②得：， 故， 化简得：，，，，； 所以， 故（首项符合通项）． 所以． 证明：（2）由于， 所以， 所以． 2．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 【答案】（1），，，；（2）300 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，， ，， 所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列， 所以． 另解：由题意可得，， 其中，， 于是，． （2）由（1）可得，， 则，， 当时，也适合上式， 所以，， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为 ． 3．（2022•衡水模拟）已知正项数列的前项和为，且满足，，，数列满足． （1）求出，的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1），，，；（2）见解析 【详解】（1）由， 则， 又，， 则， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 则，， 又满足上式， 即，， 又数列满足，① 则，② ①②得：，即，， 又当时，满足上式， 则，； （2）证明：由（1）可得：， 则， 故不等式得证． 4．（2022•沧州二模）已知正项等比数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为正项等比数列的前项和为，且，， 所以， 设等比数列的公比为， 所以， 整理得，，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）可得， 所以， 所以． 即的前项和． 5．（2022•衡水模拟）已知数列的前项和为，且满足，数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若，恒成立，求常数的最小值． 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）由，可得时，， 解得； 当时，， 化为， 所以； 数列满足，， 则； （2）， 则， 由恒成立，则． 所以常数的最小值为． 6．（2022•石家庄模拟）数列满足，，设． （Ⅰ）求，，并证明：数列是等比数列； （Ⅱ）设数列的前项和为，求． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ），， 令得，， 令得，， 为偶数，，