专项05 一线三等角模型的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项05 一线三等角模型的综合应用 模型一 一线三垂直全等模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 【类型一：标准“K”型图】 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD． 理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． 求证：△ABE≌△CAF． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF+∠BAE＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠CFA＝∠BEA＝90°， ∴∠C+∠CAF＝90°， ∴∠C＝∠BAE， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS） 【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵l∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∵AB＝AC＝， ∴AD＝BD＝AE＝CE＝1， ∴DE＝2； （2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下： 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； ∴CE＝AD，BD＝AE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． （Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下： 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； ∴CE＝AD，BD＝AE， ∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE． （3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE ∵∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△FBA， ∴AB：FB＝BD：AB， ∵CE＝3，DE＝1， ∴AE＝BD＝4， ∴AB＝5． ∴BF＝． ∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝