专项04 全等三角形基本模型（4大模型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项04 全等三角形基本模型（4大模型） 模型一：平移型 模型二：翻折型 模型三：旋转型 模型四：一线三垂直型 【类型一：平移型】 【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： . 【解答】证明： ，即 . ∴在 和 中， . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E． 【解答】证明：∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴． 【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD． 【解答】证明： 在和中， 【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：． 【解答】证明：∵， ∴即， 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AC=DF． 【类型二：翻折型】 【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC． 【解答】解：∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠DBC， 在△BAC和△BDC中， ∴△BAC≌△BDC， ∴AC＝DC． 【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 求证： ． 【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知）， ∴ （角平分线定义）， 在 与 中， ∵ ∴ ． 【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 【解答】解：在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（SAS）， ∴∠B=∠C． 【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC. 【解答】证明：如图，记的交点为O， ∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2， 又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（ASA）， ∴AB＝DC. 【类型三：旋转型】 【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO． 【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD， ∴∠B=∠D=90°． 在△ABO和△EDO中 ， ∴△ABO≌△EDO． 【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 【解答】证明：在△ABE和△DCE中 ， ∴△ABE≌△DCE（SAS） 【典例4】如图，，，，求证：. 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴. 【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. 【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC， ∵AE＝AB，AC=AF， ∴△EAF≌△BAC， ∴EF＝BC； （2）解：∵△EAF≌△BAC， ∴∠AEF=∠ABC＝65°， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠ABC＝65°， ∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°， ∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°. 【类型四：一线三垂直型】 【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN． （1）求证：MN＝BM+CN； （2）求证：∠BAC＝90°． 【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°， 在Rt△AMB和Rt△CNA中， ， ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）， ∴BM＝AN，CN＝AM， ∴MN＝AM+AN＝BM+CN； （2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA， ∴∠BAM＝∠ACN， ∵∠CAN+∠ACN＝90°， ∴∠CAN+∠BAM＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°． 【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块