专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：　 　． 证明： （2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 【变式1-2】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD＝AC． 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE． （2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由． 2．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM＝PN，MF∥AN， （1）求证：△PMF≌△PNC； （2）若AB＝AC，求证：BM＝CN． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由． （3）求证：AD+BG＝DG． 4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求证AD和BC的关系。． 5．阅读理解 （1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？　相等　（S表示面积）； 应用拓展 （2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC； 解决问题 （3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置． 6．如图，直角△ABC，∠ABC＝90°，分别以AB、AC为直角边作等腰直角△ABD、△ACE，连接DE交AB于F，求证：BC＝2AF． 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）求证：AD+BC＝AB； （3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积． 8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点． （1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE． （2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：　 　． 证明： （2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC， 证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F， ∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴DE＝EF＝DF，AD＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝DB， ∴DB＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，DE＝BC， 故答案为：DE∥BC，DE＝BC； （2）延长GE，CD交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△AGE≌△DHE（AAS）， ∴AG＝DH＝3，GE＝EH， ∵DF＝4， ∴FH＝DH+DF＝7， ∵∠GEF＝90°， ∴FE是GH的垂直平分线