专项08 对角互补模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项08 对角互补模型综合应用 应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 【类型一：三角形中的互补模型模型】 【典例1】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2， 理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG， 在△DCG与△DBE中， ， ∴△DCG≌△DBE（SAS）， ∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG， 又∵DE⊥DF， ∴FD垂直平分线段EG， ∴FG＝FE， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠FCG＝90°， 在△CFG中，CG2+CF2＝FG2， ∴EF2＝BE2+CF2； （2）如图（2），结论：EF＝EB+FC， 理由如下：延长AB到M，使BM＝CF， ∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°， ∴∠MBD＝∠C， 在△BDM和△CDF中， ， ∴△BDM≌△CDF（SAS）， ∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF， ∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF， 在△DEM和△DEF中， ， ∴△DEM≌△DEF（SAS）， ∴EF＝EM， ∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF． 【变式1】（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 　；则中线AD的取值范围是 　　 ； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝3， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜AE＜8， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4， 故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4； （2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG， ∵点D是BC的中点， ∴DB＝DC， ∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG＝CF， ∵ED⊥FD，FD＝GD， ∴EF＝EG， 在△BEG中，BE+BG＞EG， ∴BE+CF＞EF， 故答案为：＞； （3）BE+DF＝EF， 如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠D， 又∵CB＝CD，BG＝DF， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠DCF+∠BCE＝70°， ∴∠BCE+∠BCG＝70°， ∴∠ECG＝∠ECF＝70°， 又∵CE＝CE，CG＝CF， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵BE+BG＝EG， ∴BE+DF＝EF， 故答案为：＝； （4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， 若BE+DF＝EF， 则EG＝EF， ∴△ECF≌△ECG（SSS）， ∴∠ECG＝∠ECF， ∴∠BCD＝2∠ECF＝2α， 故答案为：2α． 【类型二：四边形中的互补模型】 【典例2】（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　 　cm