专项07 半角模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项07 半角模型综合应用 模型一 等角=要三角形中得半角模型 模型二 正方形中的半角模型 应用：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。 【类型一：等腰三角形中的半角模型】 【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　 　；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°， ∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°， ∴∠DAE＝×60°＝30°， ∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°， 故答案为：30°； ②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°， ∵AB＝AC， ∴△DAF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE； （2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下： 如图， 将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF， ∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE， 在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2， ∴DF2＝BD2+CE2， 同（1）②的方法得，DF＝DE， ∴DE2＝BD2+CE2． 【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE． （1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE； （2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　3或5　． 【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF+CF， ∴CE＝BE+AE； （2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE， 图②的理由如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF﹣CF， ∴CE＝BE﹣AE， 图③的利用如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝CF﹣EF， ∴CE＝AE﹣BE； （3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5； 在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3， 综上所述，CE＝3或5， 故答案为：3或5． 【典例2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． ②猜想：结论仍然成立． 证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M