1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (第1课时：用空间向量研究距离问题) 复习引入 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离. 问题1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 新知探索 如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 新知探索 思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 我们再来看平面外一点到平面的距离问题. 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此 新知探索 思考2：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 新知探索 辨析1.判断正误. (1)平面外一点到平面的距离，就是点与平面内一点所成向量的长度.（ ） (2) 直线平面，则直线到平面的距离就是直线上的点到平面的距离.（ ） (3)若平面//平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离.（ ） 答案：×，√，√. 例析 例6.如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以， 例析 (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解： (1)取，则. 所以，点到直线的距离为 例析 (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)因为所以 所以平面.所以点到平面的距离即为直线 到平面的距离.设平面的