1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 复习引入 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. 1.空间中点、直线和平面的向量表示 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 新知探索 思考1：如何用向量表示空间中的一个点？ 如图，在空间中，我们选一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 新知探索 思考2：我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线.如何用向量表示直线？ 用向量表示直线就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. 如图，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得即 新知探索 进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数， 使，① 将代入①式，得. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表达式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 新知探索 思考3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 我们知道，平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 具体表示出平面内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. 新知探索 进一步地，如图，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使③ 我们把③式称为空间平面的向量表达式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 新知探索 我们知道，给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的