专题3.2 旋转【九大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题3.2 旋转【九大题型】 【浙教版】 【题型1 利用旋转的性质求角度】 1 【题型2 利用旋转的性质求线段长度】 4 【题型3 旋转中的坐标与图形变换】 9 【题型4 作图-旋转变换】 12 【题型5 旋转对称图形】 17 【题型6 旋转中的周期性问题】 19 【题型7 旋转中的多结论问题】 23 【题型8 旋转中的最值问题】 28 【题型9 旋转的综合】 33 【知识点1 旋转的定义】 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【知识点2 旋转的性质】 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【题型1 利用旋转的性质求角度】 【例1】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为　140°　． 【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α． 【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α． 又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC， ∴∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠CDO＝60°， ∵OD＝AD， ∴∠AOD＝∠DAO． ∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°， 解得α＝140°． 故答案是：140°． 【变式1-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′， ∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°． ∵点B′恰好落在CA的延长线上， ∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°． 故选：B． 【变式1-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度数． 【解答】解：∵将△ADC绕点A逆时针旋转40°得到△AD′B， ∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD' ∴∠AD'D（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC+∠BAD'＝80°， ∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°； 故选：B． 【变式1-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（　　） A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7 【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，则AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等边三角形，PD＝AP，所以△DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，这样可分别求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案． 【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC， 显然有△ADC≌△APB，连PD， ∵AD＝AP，∠DAP＝60°， ∴△ADP是等边三