专题05 全等三角形常见辅助线专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题05 全等三角形常见辅助线专题探究 类型一 倍长中线——构全等 【知识点睛】 · 倍长中线辅助线方法规律总结 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD 结论： △ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题 · 倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型： 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定 【类题训练】 1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 　 　． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论． 【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 在△ACD与△EBD中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝6，AC＝4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 故答案为：1＜AD＜5． 2．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【分析】根据平行线性质得出∠FCE＝∠DAE，根据ASA证△CFE≌△ADE，根据全等三角形的性质推出即可． 【解答】证明：∵FC∥AB ∴∠FCE＝∠DAE， 在△CFE和△ADE中 ， ∴△CFE≌△ADE（ASA）， ∴AD＝CF＝5， ∵AB＝3， ∴BD＝5﹣3＝2， 故选：D． 3．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， 在△BAF和△EDF中， ， ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF＝S△EDF， ∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝•AC•AD＝×6×10＝30． 故答案为：30． 4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论． 【解答】解：（1）1＜AD＜5． ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF． （3）如图③，延长AE，DF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中， CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS）， ∴CG＝AB， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G， ∴A