3.2.1双曲线及其标准方程（课件）-2022-2023学年高二数学同步名师精讲课件（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线及其标准方程 Conic Section 第三章 圆锥曲线的方程 1 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质. 本节我们将类比椭圆的研究过程与方法研究双曲线的有关问题. 2 目录 CONTENTS 1 2 3 4 探究双曲线的轨迹及定义 双曲线的标准方程 典型例题及课堂练习 课后小结与预习 3 壹 第一部分 探究双曲线的轨迹及定义 我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的.轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?下面我们先用信息技术探究一下. 4 第一部分 探究 如图3.2-1，在直线l上取两个定点A，B, P是直线l上的动点。在平面内，取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2| <|AB|， 那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆;如果|F1F2| >|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹. 图3.2-1 5 第一部分 探究如图3.2-2,在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状? 图3.2-1 6 第一部分 当点M靠近定点F1时 |MF2|- |MF1|=|AB| 总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时， 当点M靠近定点F2时 |MF1|- |MF2|= |AB| 7 第一部分 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 1. 双曲线的定义: 8 第一部分 2. 双曲线的绘制方法: 9 贰 第二部分 双曲线的标准方程 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程? 10 第二部分 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)，又设| |MF1|- |MF2| | =2a (a为大于0的常数). 图3.2-3 x F1 F2 y O M(x,y) 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合: P= {M |||MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|}.因为 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合: 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 11 第二部分 图3.2-3 x F1 F2 y O M(x,y) 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代人上式，得 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x, y)都是方程②的解;以方程②的解为坐标的点(x, y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c, 0)的距离之差的绝对值都为2a,即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 12 第二部分 图3.2-4 x y O M(x,y) 思考： 类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么? 如图3.2-4，双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是 这个方程也是双曲线的标准方程. F1 F2 13 第二部分 双曲线两种标准方程的特点 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 14 叁 第三部分 典型例题及课堂练习 15 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 第三部分 x F1 F2 y O P(x,y) 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 第三部分 课堂练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四