3.1.2 椭圆的简单几何性质（课件）-2022-2023学年高二数学同步名师精讲课件（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆的简单几何性质 Conic Section 第三章 圆锥曲线的方程 1 上节回顾 焦点在x轴的椭圆x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆y2项分母较大. 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 . 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 x y F1 F2 O x y F1 F2 O 2 C I N O C 曲线的简单几何性 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。所以，本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质。 3 目录 CONTENTS 1 2 3 4 探究椭圆的几何性质 椭圆的几何性质的应用 课堂练习 课后小结与预习 4 壹 第一部分 探究椭圆的几何性质 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 下面，我们用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质. 5 1.范围 1. 范围 F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 观察图3.1-7,容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，为确定其具体的边界，我们利用方程(代数方法)进行研究. 图3.1-7 6 对称性 由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. 所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心(即原点)叫做椭圆的中心. F1 F2 O x y • • A1(x,y) A2(x,-y) A3(-x,y) A4(-x,-y) 7 顶点 F1 F2 O x y • • A1 • 说明椭圆与y轴有两个交点, 坐标分别为 A1(－a,0), A2(a,0). B1(0,-b), B2(0,b). 说明椭圆与x轴有两个交点, 坐标分别为 所以椭圆与它的对称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶点(图3.1-8). 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a, 2b. a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. A2 • B1 • B2 • 图3.1-8 2a 2b 你认为椭圆上哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标? 8 离心率 观察图3.1-9，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 图3.1-9 如右图示，椭圆 的长半轴长为a, 半焦距为c. 利用信息技术, 保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c, 可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平; 而当a, c扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这样, 利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度. 9 离心率 我们]把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即 因为a>c>0，所以0<e<1.e越接近1, c越接近a， 就越小，因此椭圆越扁平;反之，e越接近0,c越接近0，b越接近a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 你能运用三角函数的知识解释，为e越大，椭圆越扁平? e越小，椭圆越接近于圆吗? 10 贰 第二部分 椭圆的几何性质的应用 11 第二部分 例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解： 12 第二部分 例5 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建 立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在Rt△BF1F2中， 由椭圆的性质知， 所以，所求的椭圆方程为 13 第二部分 例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. O x y M H F l • d 解： 14 椭圆的第二定义 平