不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

基本不等式求最值的6种常用方法 一、基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 题型一 直接法求最值 【例1】已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】若、，且，则的最小值为（ ）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知，且，则的最大值为（ ） A．2 B．5 C． D． 【变式1-3】已知，则的最小值是（ ） A．1 B．4 C．7 D． 【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________. 【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-6】已知，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D．3 【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型二 配凑法求最值 【例2-1】已知，则函数的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 【例2-2】已知，求的最大值. 【变式2-1】已知，则的最大值为________． 【变式2-2】若则的最小值为_________． 【变式2-3】设，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-4】设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 题型三 消元法求最值 【例3】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式3-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D．6 【变式3-3】设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知，则的最小值是（ ） A．14 B． C．8 D． 题型四 乘“1”法求最值 【例4】已知，，，求的最小值. 【变式4-1】已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】若正数，满足，则的最小值为 A． B． C．5 D．6 【变式4-3】已知，，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C．9 D．4 【变式4-4】已知正实数､满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C．2 D． 题型五 简化分母换元法求最值 【例5】已知，，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11