专题12.1 全等三角形九大基本模型 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题12.1 全等三角形九大基本模型 专项讲练 全等在初中数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就全等三角形中平移型全等、轴对称（翻折）型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、半角模型、倍长中线模型、截长补短模型等经典模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型一：平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 例1．（2022•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是　 　； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可． 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙； （2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）． 变式1. （2021•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【思路】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证． 【解答过程】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D． 在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD， ∵AF∥DE，∴∠A＝∠D． 在△ACF和△DEB中，，∴△ACF≌△DEB（SAS）． 模型二：轴对称模型 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 例2．（2022·河南南阳市·八年级期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）78° 【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE． 又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF． （2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°． ∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 变式2.（2022·湖南常德·八年级阶段练习）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上． (1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）通过SSS证明，再根据全等三角形的性质即可得出，即可得出结论；（2）通过SAS证明，再利用全等三角形的性质证明即可． （1）在与中， ，， ，即AC平分∠BAD； （2）在与中， ，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 模型三：旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 例3．（2022·浙江衢州·八年级期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别