第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系 考点分析 考点一：直线和曲线联立 ①正设：椭圆与直线相交于两点，设， ， ②反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 考点二：根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到， 由韦达定理写出，，（其中，，） 注意隐含条件． 题型目录 题型一：直线与椭圆位置关系 题型二：直线与双曲线位置关系 题型三：直线与抛物线位置关系 典型例题 题型一：直线与椭圆位置关系 【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系是（       ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论. 【详解】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【例2】（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（       ） A．0或1 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断 【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 【例3】（2022全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【答案】A 【分析】求得直线恒过点，由点在椭圆内部，则直线与椭圆相交． 【详解】由，则， 则直线，恒过定点， 由，则点，在椭圆1内部， ∴直线与椭圆相交． 故选：A 【例4】（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______． 【答案】## 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：，，由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点， 所以直线的方程为：，切点的坐标． 故答案为： 【例5】（2021·云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________． 【答案】 【分析】根据题目要求，利用类比思想，观察原题中的字母变化，从而总结规律得出结论. 【详解】原题中要求利用类比得出结论， 注意观察在处的切线方程为， 可以看出圆的方程中一个换为，一个换为，即可得到切线方程， 所以方程中一个换为，一个换为，可以得到切线方程为：， 故答案为：. 【例6】（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】求椭圆上平行于的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线的最小值. 【详解】设与椭圆相切，且平行于的直线为， 联立椭圆整理可得：，则， ∴，又两平行线的距离， ∴到直线距离的最小值为. 故答案为：. 【例7】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点． (1)求动点的轨迹方程； (2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且椭圆的方程为 【分析】（1）设点，利用两点间的距离公式结合已知条件化简可得点的轨迹方程； （2）讨论当为圆与轴的交点以及轴时，可写出直线的方程，可得出椭圆的方程为，然后考虑当直线的斜率存在且不为零时，设点，写出直线的方程，将的方程与椭圆的方程联立，由可得出结论. (1)解：设点，由已知可得，整理可得. 因此，点的轨迹方程为. (2)解：假设满足条件的椭圆存在，设椭圆的标准方程为， ①若点为圆与轴的交点，则直线的方程为，则； ②若轴时，联立，可得，即点， 此时直线的方程为或，则. 所以，若椭圆存在，则椭圆的标准方程为. ③当直线的斜率存在且不为零时，设点，则， ，则直线的方程为，即， 联立可得， 所以，， 此时，直线与椭圆相切，合乎题意. 综上所述，存在椭圆，使得直线与椭圆相切. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的存在性，可先通过点的特殊位置求出椭圆的方程，然后考虑当点为一般点时，利用将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式法加以判断即可. 【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为． (1)求椭圆C的方程