主题一 第一章 第4节 均值不等式及其应用-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　均值不等式及其应用 数学 课程标准要求 2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 数学 必备知识·课前回顾 关键能力·课堂突破 数学 必备知识·课前回顾 回归教材 夯实四基 知识梳理 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数__________称为a,b的算术平均值;数称_______为a,b的几何平均值.两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. a>0,b>0 (2)等号成立的条件:当且仅当 . a=b 数学 数学 释疑 数学 重要结论 4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca; 数学 对点自测 D 数学 D 数学 3.周长为12的矩形,其面积的最大值为(　 　) A.6 B.7 C.8 D.9 D 数学 答案:3　2 数学 答案:36 数学 考点一 利用均值不等式求最值 关键能力·课堂突破 类分考点 落实四翼 角度一 直接法求最值 例1-1 数学 解题策略 利用均值不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”. (1)“一正”就是各项必须为正数. (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”是利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值. 数学 角度二 配凑法求最值 例1-2 数学 解题策略 2.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用均值不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 数学 角度三 常值代换法求条件最值 例1-3 答案:(1)D 数学 (2)(2021·贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为( 　) A.9 B.8 C.5 D.4 答案:(2)D 数学 数学 解题策略 数学 角度四 消元后求最值 例1-4 (2021·江西重点中学协作体高三模拟)已知x,y为正实数,满足4x+y+ 2xy=7,则2x+y的最小值为　　　　.  答案:3 数学 解题策略 对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围. 数学 角度五 多次利用均值不等式求最值 例1-5 答案:4 数学 解题策略 当运用一次均值不等式无法求得代数式的最值时,常采用第二次均值不等式,需注意连续多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性. 数学 数学 2.已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为　　　　.  数学 3.设a>0,b>0,且5ab+b2=1,则a+b的最小值为　　　　.  数学 4.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值是　　　,x+y的最小值是　　 . 答案:64　18 数学 考点二 均值不等式的综合应用 角度一 利用均值不等式求解恒成立问题 例2-1 数学 解题策略 含参数的不等式恒成立问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:a>f(x)恒成立,则a>f(x)max,a<f(x)恒成立,则a<f(x)min,而涉及的最值问题,常借助均值不等式求解. 数学 角度二 利用均值不等式求解存在性(有解)问题 例2-2 已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R).存在x∈(-∞,1)时,关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.  答案:[2,+∞) 数学 解题策略 含参数的不等式存在性(有解)问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:a<f(x)有解,则a<f(x)max,a>f(x)有解,则a>f(x)min,而涉及的最值问题,常借助均值不等式求解. 数学 数学 数学 考点三 均值不等式的实际应用 例3 数学 例3 数学 解题策略 利用均值不等式求解实际问题时应注意以下几点 (1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用均值不等式求得函数的最值. (2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 数学 数学 数学 备选例题 例1 答案:ACD 数学 例2 答案:BCD 数学 例3 数学 例4 数学 例5 数学 例6 已知实数a,b满足(a+2)(b+1)=8,有以下结