主题二 第三章 第2节 第四课时 导数与函数的零点-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第四课时　导数与函数的零点 数学 考点一 函数零点个数的判定 关键能力·课堂突破 类分考点 落实四翼 数学 数学 解题策略 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)极值(最值)转化法:构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. 数学 数学 数学 考点二 根据函数的零点个数求参数的取值范围 例2 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; 解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2, 则f′(x)=ex-1. 当x<0时,f′(x)<0; 当x>0时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 数学 例2 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 数学 数学 解题策略 根据零点个数求参数的取值范围问题 (1)参数分离法.若能够分离参数,则分离参数后构造函数,通过研究函数的性质,画出函数的图像,利用数形结合思想求解. (2)极值(最值)转化法.若不能分离参数,应根据函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,利用函数的极值(最值)的符号以及函数的单调性,确定参数的取值范围. 数学 [针对训练] 已知函数f(x)=kx-ln x(k>0). (1)若k=1,求f(x)的单调区间; 数学 已知函数f(x)=kx-ln x(k>0). (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值. 数学 数学 考点三 构造函数研究两函数图像交点问题 数学 根据两函数图像有交点或其中一个函数图像上存在某种特征性质的点(如关于原点对称的点,关于坐标轴对称的点等)在另一个函数图像上时,常通过构造函数转化为函数零点的存在问题. 解题策略 数学 数学 备选例题 例1 已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0)不存在零点,求实数a的取值范围. ②当a<0时,令f′(x)=0,得x=ln(-a). 在(-∞,ln(-a))上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(ln(-a),+∞)上,f′(x)>0, f(x)单调递增,所以当x=ln(-a)时,f(x)取最小值. 函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得-e2<a<0.综上所述,实数a的取值范围是(-e2,0). 数学 (1)当a=2时,求f(x)的最小值; 数学 (2)当a>1时,令g(x)=f(x)-a+1,求证:函数g(x)有两个零点. 数学 例3 (2021·贵州贵阳高三月考)已知函数f(x)=ax-ln x-a(a∈R). (1)求函数f(x)的极值; 数学 例3 (2021·贵州贵阳高三月考)已知函数f(x)=ax-ln x-a(a∈R). 数学 点击进入 课时作业 数学 例1 已知函数f(x)=-x2+a-. 设函数g(x)=xf(x),讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数. 解:由题意可知g(x)=xf(x)=-x3+ax-,g′(x)=-3x2+a,0<x<1, 当a≥3时,g′(x)=-3x2+a>0,g(x)在(0,1)上单调递增,由g(0)=-<0,g(1)=a->0,得g(x)在(0,1)上有一个零点; 当a≤0时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减,g(0)<0,g(1)<0,g(x)在(0,1)上无零点; 当0<a<3时,g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减, 可得g(x)在(0,1)上的最大值为g()=-, ①若g()<0,即0<a<,g(x)在(0,1)上无零点; ②若g()=0,即a=,g(x)在(0,1)上有一个零点; ③若g()>0,即<a<3,g(0)<0,g(1)=a-, 当<a<时,g(x)在(0,1)上有两个零点; 当≤a<3时,g(x)在(0,1)上有一个零点. 综上可得,当a<时,g(x)在(0,1)上无零点;当a=或a≥时,g(x)在(0,1)上有一个零点,当<a<时,g(x)在(0,1)上有两个零点. 解:(1)由题意知,当m=e时,f(x)=ln x+(x>0),则f′(x)=, 所以当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(e,+