第1章 §1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第1册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．命题“正方形都是菱形”的否定是(　　) A．任意一个正方形，它是菱形 B．任意一个正方形，它不是菱形 C．存在一个正方形，它不是菱形 D．存在一个正方形，它是菱形 解析　全称命题的否定为存在量词命题．故答案为C. 答案　C 2．(2022·福州模拟)命题“∀x>0，x2－1≤0”的否定是(　　) A．∃x≤0，x2－1>0　 B．∀x>0，x2－1>0 C．∃x>0，x2－1>0 D．∀x≤0，x2－1>0 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题“∀x>0，x2－1≤0”是全称量词命题， 所以其否定是“∃x>0，x2－1>0”． 故选C. 答案　C 3．(多选)下列四个命题，是真命题的有(　　) A．有些不相似的三角形面积相等 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．有一个实数的倒数是它本身 解析　只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，∴A为真命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴B为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴C为假命题．D中1的倒数是它本身，∴D为真命题．故选A、D. 答案　AD 4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是____________ . 解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定． 答案　所有的三角形都不是直角三角形 5．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________． 解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0. 答案　存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0 6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解析　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0， 因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1， 因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． [能力提升] 7．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C．命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0” D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0” 解析　对于A中，2是一个素数，其中2是偶数，所以A是假命题； 对于B中，对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8＜0， 所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题； 对于C中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0”，所以C是真命题； 对于D中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”，所以C是真命题． 答案　CD 8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　∵命题綈p是假命题，∴p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 答案　{a|a≤1} 9．已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　命题的否定：任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0为真命题，∴Δ＝4a2－4a＜0，∴0＜a＜1. 答案　0＜a＜1 10．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围． 解析　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题． 事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0， 即－3≤a<0. 综上知，实数a的取值范围是－3≤a≤0. [探索创新] 11．若命题p：“任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，求实数a的取值范围． 解析　依题意，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立， 即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0