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一、集合的概念与运算 题点多探 多维探究
集合的交、并、补运算与集合间的关系是高考考查的热点,具体数集的运算一般利用数轴,抽象集合的运算常借助Venn图.解含参数的问题,一般要对参数进行讨论.
角度1 集合的基本运算
已知集合A={x|-2≤x≤2,x∈R},B={x|eq \r(x)≤4,x∈Z},则A∩B=( )
A.{x|0<x<2}
B.{x|0≤x≤2}
C.{0,1,2}
D.{0,2}
[自主解答] 根据已知,得B={x|0≤x≤16,x∈Z},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={0,1,2},故选C.
[答案] C
角度2 集合间的基本关系 [规范答题]
(12分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.
[审题指导] (1)通过数轴直接求A∪B;
(2)通过A⊆B,列不等式组求解.
[规范解答]
(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},
A∪B={x|-2<x<3}①.(4分)
(2)由A⊆B,
知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1-m>2m,,2m≤1②,,1-m≥3,))
解得m≤-2,
即实数m的取值范围为m≤-2.(12分)
二、充分条件与必要条件
若p⇒q,且qeq \o(⇒,/)p,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
设p:实数x满足集合A={x|3a<x<a,a<0},q:实数x满足集合B={x|x<-4,或x≥-2},且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
[自主解答] ∵p是q的充分不必要条件.
∴AB,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤-4,,a<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥-2,,a<0))
解得-eq \f(2,3)≤a<0或a≤-4.
三、全称量词与存在量词
全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定.
(1) 命题“∀x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是( )
A.∃x∈R,x2-2x+1≤0
B.∃x∈R,x2-2x+1≥0
C.∃x∈R,x2-2x+1<0
D.∀x∈R,x2-2x+1<0
(2)若命题p:∃x∈R,x2+2x-m-1=0是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m>-2
B.m≥-2
C.m<-2
D.m≤-2
[自主解答] (1)∵命题“∀x∈R,x2-2x+1≥0”为全称量词命题,
∴命题的否定为:∃x∈R,x2-2x+1<0.故选C.
(2)由题意,得
方程x2+2x-m-1=0有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,
所以m≥-2.故选B.
[答案] (1)C (2)B
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