专题1.3 多面体欧拉定理（强化）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.3 多面体欧拉定理 1．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数、面数及棱数之间满足一种有趣的关系：，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 　12　个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 　　面体． 【解答】解：①设出正二十面体的顶点为个，则棱有条． 由题意， ， 解得． ②设顶点数，棱数，面数，每个点属于三个面，每条边属于两个面 由每个面都是五边形，则就有， 由欧拉公式：，代入： 化简整理： 所以：， 即多面体是12面体．棱数是30，面数是12， 故答案为12，12． 2．一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为 　8　． 【解答】解：根据四棱柱的概念，有8个顶点． 故答案为8． 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型： 根据上面多面体模型，你发现顶点数、面数、棱数（e）之间存在的关系式是 　　． 【解答】解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则； 长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则； 正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则； 则关系式为：； 故答案为：． 4．观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 　　 10 12 棱数 9 12 　　 　　 面数 5 　　 　　 8 观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出发现的关系式． 【解答】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 观察上表中的结果，能发现、、之间有的关系是：． 5．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 　4　 　　 　　 长方体 　　 　　 　　 正八面体 　　 　　 　　 正十二面体 　　 　　 　　 你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是　　． （2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：； （2）由题意得：，解得； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：（1）6；6；． （2）12； （3）14． 6．观察下列多面体，并把如表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 10 12 棱数 9 12 面数 5 8 观察表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式． 【解答】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； 故，，之间的关系：． 7．回答下列问题： （1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？ （2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为，顶点个数为，棱数为，分别计算第（1）题中两个多面体的的值？你发现什么规律？ （3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数． 【解答】解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体； 图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥． （2）甲：，，，； 乙：，，，； 规律：顶点数面数棱数． （3）设这个多面体的面数为，则 解得． 8．如图，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱． （1）四棱柱有 　8　个顶点，　　条棱，