专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系； 2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下求出方程的另一根，以及方程中的未知系数； 3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。 2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 则：时，有; 时，有 时，有 【高频考点精讲】 【高频考点1】利用根与系数的关系求方程的根 例1．（2021·广东汕尾市·九年级一模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是2，设另一个根是， ，，故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数的商． 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）若2＋，2－是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（ ） A．－4 B．－3 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解m、n的值，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴；故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【高频考点2】利用根与系数的关系求有关根的代数式的值 例2．（2022·陕西西安市·九年级模拟）若方程的两根为，，则_____． 【答案】7 【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2=-5，x1x2=-6，再根据即可求解． 【详解】解：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x1+x2=-5，x1x2=-6， ∴；故答案为：7 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为： 变式1. （2022·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____． 【答案】2001.5 【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，将其代入+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8， ∴+2x1x2++2020＝+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020，＝+2x1x2+2020 ＝+2×（﹣8）+2020＝﹣2.5﹣16+2020＝2001.5，故答案为：2001.5； 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，分式的加减混合运算，解题的关键是正确得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，从而进行解题． 【高频考点3】利用根与系数的关系及代根法综合求值 例3．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【答案】D 【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 【详解】解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36．故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】1 【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解． 【详解】解:∵是一元二次方程的两个根，∴， ， ∴原式＝＝7－6＝1． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键． 【高频考点4】利用根与系数的关系求参数值 例4．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∵，∴，即：，解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键． 变式1. （2022·合肥九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值． 【