专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 【学习目标】 1.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程. 2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性. 【知识梳理】 1)因式分解法:将一元二次方程通过因式分解,分解为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,实现降次的方法。 2)即将一元二次方程化简为;从而得出:,因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 3)因式分解的主要方法: 提取公因式法:通过提取公因式达到因式分解的目的,进而求解一元二方程。 乘法公式:因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式,利用如下乘法公式,有时可以很好解决。①平方差公式:;②完全平方公式: 十字相乘法:十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件: ①十字左边上下两数相乘等于二次项; ②十字右边上下两数相乘等于常数项;③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如:用十字相乘法解方程: ∴方程可分解为:(2x+3)(x-2)=0 ∴ 4)解一元二次方程的方法选择: ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意:方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2(x+4)2=3(x+4)中,不能随便约去(x+4)。 【高频考点精讲】 【高频考点1】因式分解法概念的应用 例1.(2022·山东莱州九年级期末)用因式分解法解方程,将左边分解后有一个因式是,则m的值为_. 【答案】 【分析】根据题意得到x2-mx-6=(x-3)(x-a),即可求出m的值. 【解析】解:根据题意得:x2-mx-6=(x-3)(x-a)=x2-(a+3)x+3a=0, ∴-m=-a-3,3a=-6,解得:a=-2,则m=1.故答案为:1. 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解法是解题关键. 变式1. (2022•浉河区校级九年级月考)我们知道可以用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)来分解因式解一元二次方程. 如:x2+6x+8=0,方程分解为: =0, x2﹣7x﹣30=0,方程分解为: =0 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如:3x2﹣7x+2=0 解:方程分解为:(x﹣2)(3x﹣1)=0 从而可以快速求出方程的解. 你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5=0 【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案,同样的方法可对4x2﹣8x﹣5=0进行因式分解,可求得答案. 【解答】解:∵x2+6x+8=(x+2)(x+4),x2﹣7x﹣30=(x﹣10)(x+3), ∴x2+6x+8=0可分解为(x+2)(x+4)=0,x2﹣7x﹣30=0可分解为(x﹣10)(x+3)=0, 故答案为:(x+2)(x+4);(x﹣10)(x+3); ∵4x2﹣8x﹣5=(2x﹣5)(2x+1),∴4x2﹣8x﹣5=0可分解为(2x﹣5)(2x+1)=0, ∴2x﹣5=0或2x+1=0,∴x或x. 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关键. 【高频考点2】用提公因式法解一元二次方程 例2.(2022•建平县九年级期末)用分解因式解方程:2y2+4y=y+2 【分析】先变形为2y(y+2)﹣(y+2)=0,然后利用因式分解法解方程; 【解答】解:2y(y+2)﹣(y+2)=0, (y+2)(2y﹣1)=0, y+2=0或2y﹣1=0, 所以y1=﹣2,y2; 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法和公式法. 变式1.(2022•揭西县九年级月考)用分解因式解方程:x(5x+4)﹣(4+5x)=0. 【分析】利用因式分解法求解即可. 【解答】解:∵x(5x+4)﹣(4+5x)=0,∴(5x+4)(x﹣1)=0, 则5x+4=0或x﹣1=0,则. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 【高频考点3】用乘法公式解一元二次方程 例3.(2022•长白县九年级期中)用因式分解法解方程:(x+3)2=(1﹣2x)2. 【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可. 【解答】解:方程整理得:(x+3