专题2.3 用公式法求解一元二次方程-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.3 用公式法求解一元二次方程 【学习目标】 1.经历用配方法推导一元二次方程的求根公式的过程； 2.理解求根公式，能用公式法解数字系数的一元二次方程； 3.理解根的判别式，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，强化推理技能训练，发展演绎推理能力； 4.经历列一元二次方程解决实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力。 【知识梳理】 1.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 3.一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 【高频考点精讲】 【高频考点1】用公式法解一元二次方程 例1．（2021•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）． 【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24， ∴x，则x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x是解题的关键． 变式1.（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)方程无解 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用公式法求解即可． 【解析】 (1)解：，2x2+8x-1=0， ∵Δ==72>0， ∴x=， ∴x1=，x2=； (2)解：，3x2-11x+9=0， ∵Δ=>0， ∴x= ∴x1=，x2=； (3)解：，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程无解． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 变式2.（2022•江干区期末）解下列一元二次方程：（公式法）． 【分析】整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2， ∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x，即x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【高频考点2】求根公式的应用 例2．（2022•福州九年级模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（　　） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1 【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案． 【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1，x2， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x21，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目． 变式1.（2022 •和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【分析】根据公式得出m，求出即可． 【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m， ∴m，解得：b2m，故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 【高频考点3】应用根的判别式判断方程根的情况 例3．（2022•河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论． 【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根； B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴一元二次方程x（x﹣