专题2.2 用配方法求解一元二次方程-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 【学习目标】 1.能根据平方根的意义解形如的方程； 2.理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程，体会转化的数学思想； 3.理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程； 4.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法； 【知识梳理】 1.一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则. 2.一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； （4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 【高频考点精讲】 【高频考点1】直接开平方法解一元二次方程的条件 例1．（2022•环江县九年级期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【分析】根据直接开平方法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 变式1. （2022•南岗区校级九年级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　． 【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可． 【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3． 故答案为：m＜﹣3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键． 【高频考点2】用直接开平方法解一元二次方程 例2．（2021•梁溪区校级期中）解方程：（1）x2＝9；（2）4x2﹣25＝0． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，则x2，∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 变式1.（2021•广州校级期中）解方程： （1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2． 【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解． 【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1 （2）解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1）， 解得：y1，y2． 【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 【高频考点3】用配方法解一元二次方程 例3．（2022·浙江杭州市·八年级期中）解方程： 解：两边同时加_________，得________________ 则方程可化为（_______）2=________ 两边直接开平方得_____________ 即_________或_____________ 所以__________，___________． 【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解：两边同时加9，得99，则方程可化为1， 两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以-2，-4． 故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±