专题2.1 认识一元二次方程-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.1 认识一元二次方程 【学习目标】 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识； 2.理解方程的解的概念；经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义； 3.会估算一元二次方程的解； 4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 【知识梳理】 1）一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 2）一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 3）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。常考点:利用根的概念求代数式的值； 4）一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【高频考点精讲】 【高频考点1】判断一元二次方程的个数 例1.（2022·成都市九年级年级专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】依据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一元二次方程； ③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．故选A． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 变式1.（2022•仓山区九年级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程； ②x24＝0属于分式方程； ③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义； ④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程； 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【高频考点2】利用一元二次方程的概念求字母的值 例2.（2022·台州市九年级月考）如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为：（ ） A． B． C． D．都不是 【答案】C 【分析】据一元二次方程的定义得到m-3≠0且m2-7=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：根据题意得m-3≠0且m2-7=2，解得m=-3．故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 变式1.（2022·重庆初三课时练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件判断即可确定出m的范围． 【解析】由题意，得，且，所以且，故答案是：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【高频考点3】一元二次方程的一般形式 例3.（2022·河南郑州·九年级期中）已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案． 【详解】解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0， ∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 变式1．（2022·湖北初三月考）已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ） A