专题2.6 应用一元二次方程-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.6 应用一元二次方程 【学习目标】 1.掌握列出一元二次方程解应用题;并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； 2.会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题； 3.理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题； 4.通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 【知识梳理】 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 4.传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5. 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛， ∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛， ∴上述求法无重叠 ∴m= 【高频考点精讲】 【高频考点1】 销售利润问题 例1．（2022.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？ 【答案】：10元 【解析】①依据题意，寻找等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润 ②设未知数： ∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关 ∴设每每件衣服涨价x元 ③根据等量关系式建立方程： 每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元 销售重量为：（300－x）件 方程为：（20+x）（300－x）=8700 ④解方程并解答： 方程化简得：，继续化简得：（x－10）（x－270）=0 解答：， ∵售价不得高于80元 ∴x≤30 ∴x=10 答：应涨价10元。 【点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键． 变式1. （2022•澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出　 　个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元． 【分析】（1）由销售数量＝600﹣20×上涨价格，即可得出结论； （2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，根据月利润＝单件利润×月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：600﹣20m．故答案为：600﹣20m． （2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个， 根据题意得：（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，解得：x1＝3，x2＝4． 当x＝3时，销量为1200＜1300，适合题意； 当x＝4时，销量为1400＞1300，舍去．∴40﹣x＝37． 答：每个排球的售价为37元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程