专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【题型1 不等关系的建立】 【方法点拨】 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（　　） A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M 【解题思路】根据题意列出不等式即可． 【解答过程】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c， ∴a+b+c≤M， 故选：A． 【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息： ①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米； ②人跑开的速度为每秒4米； ③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区． 为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可． 【解答过程】解：由题意可得450． 故选：B． 【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4100 B．4100 C．4100 D．4100 【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程＝速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间，是s． 【解答过程】解：根据题意得4100， 故选：C． 【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（　　） ①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300； ②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200； ③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N； ④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5． A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③④． 【解答过程】解：对于①，可得a≥300，故①正确； 对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误； 对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x）20，可得M＞N，故③正确； 对于④，因为x≠﹣2且y≠1， 所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正确． 故选：B． 【题型2 利用不等式的性质判断正误】 【方法点拨】 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误， 对于B，当c＝0时