第09讲 直角三角形的性质与判定 -【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第9讲 直角三角形的性质和判定 考点一 直角三角形的性质 【知识点睛】 · 直角三角形的性质： 两锐角互余； 斜边上的中线=½斜边长 30°角所对的直角边=½斜边长 · 直角三角形性质及应用常结合相关性质有： 直角三角形 垂直的意义； 平行线的性质； 等腰三角形等边对等角； 角平分线的性质； 三角形内角和与外角和定理； 全等三角形的对应角相等； · Rt△中求角度时，有时是直角三角形性质的单独应用，有时也是三角形有关角度性质的综合考察；A B C D · 注意事项：如右图，当Rt△斜边上的中线的条件出现时，常见考察方向有： ①CD=½AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD，即△ACD、△BCD均为等腰三角形； 【类题训练】 1．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（　　） A．30° B．50° C．70° D．90° 【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，根据直角三角形两锐角互余可得x+2x＝90°，解方程即可求出∠A的度数． 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x， ∵∠C为直角， ∴∠A+∠B＝90°， ∴x+2x＝90°， ∴x＝30°， ∴∠A＝30°， 故选：A． 2．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠BAC+∠EDF＝180°， ∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°， ∴∠E＝∠BME＝∠AMF， ∵EF⊥BC， ∴∠C+∠F＝90°， ∴∠E＝∠C， 故与∠E相等的角有3个， 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2 【分析】A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断； C、根据同角的余角来找等量关系； D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论． 【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A与∠1互余，正确； B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B与∠2互余，正确； C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠A＝∠2，正确； D、当∠A＝∠B时，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误； 故选：D． 4．一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质先求出斜边长，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线为5， ∴斜边长＝10， ∵斜边上的高为4， ∴此三角形的面积＝×10×4＝20， 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且∠B＝30°，AD＝4，点E是AB上一动点，则D，E之间的最小距离为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【分析】由直角三角形的性质求出CD＝2，过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离，由角平分线的性质得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵AD＝4， ∴CD＝AD＝2， 过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC， ∴DC＝DE＝2， 故选：C． 6．如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（　　） A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，可得OP＝AB，即可解答． 【解答】解：∵P是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴OP＝AB， ∵木杆AB的长固定， ∴OP的长度不变， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF、EF，设∠DFE＝α，则∠C的度数可表示为（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α 【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论． 【解答】解：∵AE⊥BC于点E，