第04讲 二次函数与一元二次方程-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第5章 二次函数 5.4二次函数与一元二次方程 目标导航 课程标准 课标解读 1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系。 2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系。 1.理解抛物线与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系； 2.能判断出抛物线与X轴的交点个数，并能求出相应坐标。 3.能指出二次函数大于0、小于0时，x的取值范围。 知识精讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的情况 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【微点拨】 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【微点拨】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 【即学即练1】观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（       ） －1 0 1 2 3 4 －7 －5 －1 5 13 23 A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【即学即练2】如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（       ） A． B． C． D．0 知识点02 抛物线与x轴的两个交点的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【即学即练3】若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 知识点03 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【微点拨】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【即学即练4】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是(     ) A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7 能力拓展 考法01 二次函数图像与坐标轴的交点问题 【典例1】 关于二次函数的三个结论，①图象与y轴的交点为；②对任意实数m，都有与对应的函数值相等；③图象经过点；其中，正确结论是（       ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考法02 根据二次函数的图像确定相应方程根的情况 【典例2】抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 分层提分 题组A 基础过关练 1．抛物线与轴的交点坐标为（       ） A．(-3，0) B．(0，-3) C． D． 2．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（       ） A．－4 B．4 C．5 D．－5 3．已知抛物线y＝