专题02 反比例函数与一次函数和几何综合（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题02 反比例函数与一次函数和几何综合 【思维导图】 ◎考点题型1 一次函数与反比例函数图像综合判断 例．（2022·重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（　　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可． 【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意； B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意； C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意； D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确系数与函数图象的关系． 变式1．（2022·山东青岛·八年级期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（       ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 变式2．（2022·河南南阳·八年级期中）已知m≠0，b＜0，则下列图中能正确表示一次函数y=mx+b和反比例函数的图象的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象确定m和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可． 【详解】解：A．根据一次函数图象可知，m＞0，b＜0， ∴反比例函数经过第一、三象限， 故A选项不符合题意； B．根据一次函数图象可知，m＜0，b＜0， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故B选项不符合题意； C．根据一次函数图象可知，m＜0，b＞0， 与已知b＜0相矛盾． 故C选项不符合题意； D．根据一次函数图象可知，m＞0，b＞0， ∴反比例函数经过第一、三象限， 故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键． 变式3．（2022·湖南·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键． ◎考点题型2 一次函数与反比例函数的交点问题 例．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论． 【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点， ∴B（2，m）， ∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 变式1．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E，若，则k与a的关系正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出A坐标，可以得到C的坐标，由CE=DE，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案． 【详解】解：对于， 当x=0时，y=k；当y=0时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，且点C在反比例函数的图象上， ∴点C的坐标为， ∵，轴， ∴点E的坐标为， 把E代入得：