专题04 反比例函数模型（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专项突破04 反比例函数模型 【思维导图】 ◎突破一 一点一垂线 例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确； D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（       ） A．0.5． B．1． C．2． D．3.5． 【答案】C 【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值． 【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3， ∴△MON的面积可能是2， 故选C． 【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义． 专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OA，如图， ∵轴， ∴OC∥AB， ∴ 而 ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义． 专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D．﹣ 【答案】D 【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作AD⊥OB于D， ∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°， ∴OA＝OB， ∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA， ∴△AOD∽△BOA， ∴， ∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝， ∵S△AOD＝|k|， ∴|k|＝， ∵反比例函数y＝图象在二、四象限， ∴k＝﹣， 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是解答此题的关键． ◎突破二 一点两垂线 例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（     ） A．1 B．3 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k<0，即k>0，于是有k=6． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形， ∴，而 =|−k|， ∴|−k|=6，而−k<0，即k>0，∴k=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（     ） A．-4 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解． 【详解】解