专题03 实际问题与反比例函数（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题03 实际问题与反比例函数 【思维导图】 ◎考点题型1 图形类 例．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250 受力面积S（） 0.5 0.4 a 0.2 0.16 (1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值． (2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 【答案】(1)，0.25 (2)这种摆放方式不安全，理由见解析 【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值； （2）算出S，即可求出P，比较可得答案． （1） 解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为， 把（400，0.5）代入得：， 解得：k=200， ∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为， 当P=800时，， ∴a=0.25； （2） 解：这种摆放方式不安全，理由如下： 由图可知S=0.1×0.2=0.02（）， ∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为， ∵10000>2000， ∴这种摆放方式不安全． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式． 变式1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． (1) 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． (2) 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 变式2．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围； (2)边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】(1)y＝（x≥5） (2)方案1：AB的长为5m，BC的长为6m； 方案2：AB的长为6m，BC的长为5m． 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y＝，再结合墙长为6m，即可得出x≥5； （2）由x，y均为整数，x≥5，且y＝，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案． （1） 解：依题意得：xy＝30， ∴y＝． 又∵墙长为6m， ∴≤6， ∴x≥5． ∴y关于x的函数表达式为y＝（x≥5）． （2） ∵x，y均为整数，x≥5，且y＝， ∴x可以为5，6，10，15，30． 又∵2x+y≤20，即2x+≤20， ∴x可以为5，6， ∴共有2种围建方案， 方案1：AB的长为5m，BC的长为6m； 方案2：AB的长为6m，BC的长为5m． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值． 变式3．（2022·全国·九年级专题练习）某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子． (1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、． ①求y关于x的函数表达式； ②当时，求x的取值范围； (2)洋洋说篱笆的长可以为．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由． 【答案】(1)① ，②当时， (2)洋洋的说法对，矩形园子的长为，宽为，理由见解析 【分析】（1）①利用矩形的面积计算公式，找出y关于x的函数表达式，结合墙长为10m，即可得出x的取值范围； ②代入y≥4，可求出x≤3，结合x≥，即可求出x的取值范围； （2）洋洋的说法对，设垂直于墙的一边长为a m，则平行于墙的一边长为（14-2a）m，根据矩形园子的面积为12m2，即可得出