3.1.1 椭圆及其标准方程（课件）-2022-2023学年高二数学同步名师精讲课件（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 Conic Section 第三章 圆锥曲线的方程 1 C I N O C 什么是圆锥曲线 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections). 2 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案. 3 目录 CONTENTS 1 2 3 4 探究椭圆的轨迹及定义 椭圆的标准方程 典型例题及课堂练习 课后小结与预习 4 壹 第一部分 探究椭圆的轨迹及定义 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征? 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 5 第一部分 探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 6 第一部分 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 1. 椭圆的定义: 7 贰 第二部分 椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单? 8 x 第二部分 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图. 设M(x, y)是椭圆上任意以点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0) ,(c,0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1,F2的距离的和等于2a. F1 F2 M(x,y) y O 想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？ 9 第二部分 x F1 F2 M(x,y) y O 我们把方程①叫做椭圆的标准方程. 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P= {M | | MF1 | + |MF2 | =2a}. 化简整理得 y O x F1 F2 P 你能从中找出表示a , c, 的线段吗？ |PF1|=|PF2|=a， |OF1|=|OF2|=a ， |PO|= 令b=|PO|= ,那么方程①就是 这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2. 10 第二部分 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 思考 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,c), (0, -c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? 不同点： 焦点在x轴的椭圆x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆y2 项分母较大. 11 叁 第三部分 典型例题及课堂练习 12 第三部分 例1 解1: (定义法) 你还能用其他方法求它的标准方程吗?试比较不同方法的特点. 13 第三部分 解2: (待定系数法) 例1 14 第三部分 15 第三部分 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得 例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ x y P M O • D • 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨