专题06 基本不等式（习题）-2022-2023学年高一数学高频考点讲练突破（人教版2019必修第一册）

专题06 基本不等式 1．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】 根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值. 【详解】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为， 所以年平均利润 当且仅当时等号成立， 即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8， 故选：D 2．（2021·重庆高三三模）(多选题)已知，为正实数，且，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可. 【详解】 解：因为，当且仅当时取等号， 解得，即，故的最大值为2，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确； ，当且仅当， 即时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确． 故选：ABD． 3．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）（多选题）已知，则下列选项一定正确的是（ ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】BD 【分析】 依题意得出的取值范围，由此可得的范围，即可判断A的正误；利用基本不等式可判断B、C的正误；根据基本不等式及二次函数知识即可判断D的正误. 【详解】 因为，所以，所以. 对于A：由可得，所以，故A错误； 对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C：因为，所以当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，当时取最大值， 此时， 此时两次取等号条件不一致，故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】 方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 4．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知，，则下列说法正确的是（ ） A．最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】 选项A. 设，求出导数