专题06 基本不等式（讲义）-2022-2023学年高一数学高频考点讲练突破（人教版2019必修第一册）

专题06 基本不等式 知识点一、基本不等式的概念 1 知识点二、利用基本不等式求最值 1 知识点三、几个重要的不等式 2 考向一　运用基本不等式求函数的最值 2 考向二 基本不等式中1的运用 4 考向三 运用消参法解决不等式问题 6 考向四 运用基本不等式解决含参问题 7 考点五 ：利用基本不等式证明不等式 9 考向六 运用基本不等式解决实际问题 11 知识点一、基本不等式的概念 基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 知识点二、利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 知识点三、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 考向一　运用基本不等式求函数的最值 【方法技巧】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 【典例1】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（ ） A．有最小值4 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【解析】 根据基本不等式结合不等式的性质判断． 【详解】 因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为， ，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 【变式1-1】（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______． 【答案】