第一章 一元二次方程-【数学文化趣读】2022九年级上册数学读本

1 2 周瑜(175—210),字公瑾,东汉末年名将.长壮有姿貌、精音律,江东有 “曲有误,周郎顾”之语.建安十三年(公元208年),周瑜率江东孙氏集团军队 与刘备军队联合,于赤壁之战中大败曹军,由此奠定了“三分天下”的基础. “三气周瑜” 《三国演义》中,周瑜虽然极具军事才能,但心胸狭窄,因此有诸葛亮“三 气周瑜”的故事.周瑜英年早逝,于是,有人根据周瑜的故事,出了一道数学题: 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜? (注:古人把三十岁称为而立之年) 问:周瑜英年早逝时有多少岁? 2 3 方程名称的由来 方程这个名词,最早见于我国古代数学专著《九章算术》.此书收集了246 个应用问题和其他问题的解法,一共分为九章,“方程”是其中的一章.在这一 章里的所谓“方程”,具体是指一次方程组,这一章中的第一个问题实际上就 是求解三元一次方程组. 《九章算术》(西汉末东汉初,公元1世纪左右,作者不详)是世界上最早系 统叙述了分数运算的著作.另外,在代数方面,主要有一次方程组的解法、平 方、立方、一般二次方程的解法等.在世界数学史上,《九章算术》“方程”一章 首次引入了负数及其加减法运算法则. 魏晋时期的数学家刘徽为《九章算术》作了大量注释,介绍了方程组:“二 物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,顾谓之方程.”这里所谓“如 物数程之”,是指有几个未知数就必须列出几个等式.一次方程组各未知数的 系数用算筹表示时好比方阵,所以叫做方程.他还创立了比“遍乘直除”更简 便的“互乘相消”法来解方程组. 刘徽与《九章算术注》 方程的概念,在世界上要数《九章算术》中的“方程”一章最早出现.其中 解方程组的方法,不但是我国古代数学中的伟大成就,而且是世界数学史上 一份非常宝贵的遗产. 3 4 引葭赴岸 《九章算术》中的第228题曰:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引 葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”用现代汉语来讲就是: 有一个边长为1丈(0.3丈=1米)的正方形水池,一棵芦苇生在它的中 心,芦苇露出水面一尺(1米=3尺),如果把这棵芦苇拉向岸边,它倾斜后尖 端恰巧与池壁上的水面接触,求此芦苇的高度和水深各是多少? 12世纪,印度数学家婆什迦罗提出了“荷花问题”: 平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边. 渔人观看忙向前,花离原位二尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅. 此诗所云相似于《九章算术》的第228题,只不过把芦苇换成了荷花.我们 怀疑这个印度的“荷花问题”是否是印度人“东天取经”,学了《九章算术》后克 隆出的一个问题. “引葭赴岸”问题,现代的解法一般是设未知数、列方程和解方程,即设芦 苇高x 尺,由勾股定理得 x2=52+(x-1)2, 解得x=13. 即芦苇高1丈3尺. 刘徽注曰:“此以池方半之,得五尺为勾,水深为股,葭长为弦,以勾及股 弦差求股弦;故令勾自乘,先见矩幂也,出水者,股弦差,减此差于矩幂则余 之,倍差为此幂之广,令此幂除倍出水二尺为广,故得水深也.” 在利用勾股定理计算的过程中,使用频率最高的便是解一元二次方程. 而关于勾股定理的证明,就不得不提到著名的毕达哥拉斯学派. 毕达哥拉斯学派与勾股定理 在欧洲,勾股定理被称为毕达哥拉斯定理,因为这一定理是由毕达哥拉 4 5 斯首先做出了严谨证明. 毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-公元前500),古希腊数学家、哲 学家,早年曾游历埃及、巴比伦(另一种说法是到过印度)等地,后来移居意大 利半岛南部的克罗托内,并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘 密团体——— 毕达哥拉斯学派,这个学派非常重视数学,试图用数来解释一切. 他们宣称,数是宇宙万物的本源,而由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆 数”是该学派的哲学基石,而“一切数均可表成整数或整数之比”.他们研究数 学的目的并不在于实用,而在于探索自然的奥秘.他们对数学的一个重大贡 献是有意识地承认并强调:数学上的概念如数和图形是思维的抽象,同实际 事物或实际形象是截然不同的.有些原始文明社会中的人(如埃及人和巴比 伦人)也知道把数脱离实物来思考,但他们对这种思考的抽象性质所达到的 自觉认识程度,与毕达哥拉斯学派相比,是有相当大的差距的.而在希腊人之 前,几何思想是离不开实物的.例如,埃及人认为:直线就是拉紧的绳或田地 的一条边,而矩形则是田地的边界.毕达哥拉斯学派还有一个特点,就是将算 术和几何紧密联系起来. 关于毕达哥拉斯定理的证明,现在人类保存下来的最早的文字资料是欧 几里得所著的《几何原本》(成书于公元前300年左右)第一卷中的命题47: “直角三角形中,直角所对的边上的正方形面积等于夹直