专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2022春•宿迁月考）已知向量，分别为直线l方向向量和平面α的法向量，若l⊥α，则实数x的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据用直线l的方向向量和平面α的法向量表示l⊥α时的关系，列方程求出x的值． 【解答过程】解：因为向量，分别为直线l的方向向量和平面α的法向量，且l⊥α， 所以∥，可设λ，λ∈R； 即（1，2，1）＝（λ，λx，λ）， 解得λ＝2，x＝1， 所以实数x的值为1． 故选：C． 2．（3分）（2022•安徽开学）若直线l的一个方向向量为（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为（﹣2，4，2），则（　　） A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．l∥α或l⊂α 【解题思路】根据题意，分析可得2，由平面法向量的定义分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，直线l的一个方向向量为（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为（﹣2，4，2）， 则有2，故l⊥α， 故选：C． 3．（3分）（2022春•徐州期末）已知直线l过点A（1，﹣1，﹣1），且方向向量为，则点P（1，1，1）到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间中点到直线的距离公式求解． 【解答过程】解：∵点A（1，﹣1，﹣1），点P（1，1，1）∴（0，2，2）， ∴||2， 又∵直线l的方向向量为， ∴点P（1，1，1）到l的距离d， 故选：B． 4．（3分）（2021秋•广安期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若⊥，（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　） A．，，4 B．，，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15 【解题思路】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出． 【解答过程】解：∵⊥， ∴3+5﹣2Z＝0，解得z＝4． ∴． ∵BP⊥平面ABC， ∴，． ∴化为， 解得． ∴，，z＝4． 故选：B． 5．（3分）（2022春•高邮市期中）给出以下命题，其中正确的是（　　） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m平行 B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α C．平面α、β的法向量分别为，，则α⊥β D．已知直线l过点A（1，0，﹣1），且方向向量为（1，2，2），则点P（﹣1，2，0）到l的距离为 【解题思路】直接利用向量的共线，向量垂直的充要条件，点到直线的距离公式的应用判断A、B、C、D的结论． 【解答过程】解：对于A：由于直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则，故直线l和直线m不平行，故A错误； 对于B：直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则，故B错误； 对于C：平面α、β的法向量分别为，，则，故C错误； 对于D：由于A（1，0，﹣1），P（﹣1，2，0），则：，方向向量为（1，2，2）， 所以，，故，故D正确． 故选：D． 6．（3分）（2022春•南平期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用坐标法利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即可求解． 【解答过程】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， 则M（，0，1），N（1，0，），C（0，1，0），B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1）， ∴λλ（﹣1，0，﹣1），E（1﹣λ，1，1﹣λ），（，0，），（λ，1，﹣λ）， 设平面MNE的一个法向量为（x，y，z）， 则，∴，令x＝1，可得（1，2λ，1）， 又（0，0，1）， 设直线DD1与平面MNE所成的角为θ， 则sinθ＝|cos，|， 当2λ0，即λ时，sinθ有最大值，即直线DD1与平面MNE所成的角最大． 故选：C． 7．（3分）（2022•海淀区二模）在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为棱DC上的动点，F为线段B'E的中点．给出下列四个结论： ①B'E⊥AD'； ②直线D'F与平面ABB'A'的夹角不变； ③点F到直线AB的距离不变； ④点F到A，D，D'，A'四点的距离相等． 其中，所有正确结论的序号为（　　） A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④ 【解题思路】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答过程】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体ABCD﹣A'B'C'D'中棱长为2，设DE＝a（0≤a≤2， 则E（0，a，0），B′（2，2，2），A（ 2，0，0），D′（0，0，2），F（1，，1），B（ 2，2，0），D（0，0，0）