专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 2．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 3．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 4．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 5．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型1 求平面的法向量】 【方法点拨】 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【例1】（2022春•连云港期中）在三棱锥P﹣ABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是（　　） A． B． C．（1，1，1） D．（2，﹣2，1） 【解题思路】由题意P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），则（1，0，﹣2），（﹣1，1，0），由此列方程组，能求出平面PAB的一个法向量． 【解答过程】解：在三棱锥P﹣ABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0）， 则（1，0，﹣2），（﹣1，1，0）， 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z）， 由，得，令z＝1，得（2，2，1）， 又（1，1，）， ∴平面PAB的一个法向量为（1，1，）． 故选：A． 【变式1-1】（2022春•湖北月考）已知平面α内有两点M（1，﹣1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为，则a＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】，由平面α的一个法向量为，得，由此能求出a的值． 【解答过程】解：平面α内有两点M（1，﹣1，2），N（a，3，3）， ， 因为平面α的一个法向量为， 所以，则， 解得a＝2， 故选：C． 【变式1-2】（2021秋•河北区期末）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量为（　　） A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1） 【解题思路】由题