3.8 双曲线的综合应用 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 1 页 共 26 页 ✬3.8 双曲线的综合应用 知 识 题 型 类 型 双曲线的综合应用 定点问题 重点、考点、难点 定值问题 重点、考点、难点 面积问题 重点、考点、难点 其他问题 重点、考点、难点 “设而不求”在直线与椭圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与椭圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 考点一 定点问题 例 1 平面直角坐标系 xOy中，点 )03(1 ，F ， )03(2 ，F ，点 M满足 221  MFMF ，点 M的轨迹为 曲线 C． （1）求曲线 C的方程； （2）已知 A（1，0），过点 A的直线 AP，AQ与曲线 C分别交于点 P和 Q（点 P和 Q都异于点 A）， 若满足 AP⊥AQ，求证：直线 PQ过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 2 页 共 26 页 例 2 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 的离心率为 2 ，两条准线间的距离为 22 ． （1）求 C的标准方程； （2）斜率为 k的直线 l过点（1，0），且直线 l与 C的两支分别交于点 A，B． ①求 k的取值范围； ②若 D是点 B关于 x轴的对称点，证明：直线 AD过定点． 例 3 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 经过 A（2，0），且点 A到 C的渐近线的距离为 7 212 ． （1）求双曲线 C的方程； （2）过点（4，0）作斜率不为 0的直线 l与双曲线 C交于 M，N两点，直线 x＝4分别交直线 AM，AN 于点 E，F，请交直线 AM，AN于点 E，F，试判断以 EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定 点坐标，反之，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 3 页 共 26 页 例 4 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 的左、右焦点分别为 F1，F2，其离心率为 2 6 ，且过点 )2224( ，P ． （1）求双曲线 C的方程； （2）过 F1的两条相互垂直的交双曲线于 A，B和 C，D，M，N分别为 AB，CD的中点，连接 MN，过 坐标原点 O作 MN的垂线，垂足为 H，是否存在定点 G，使得|GH|为定值，若存在，求此定点 G．若不存 在，请说明理由． 变 1 在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 的右顶点为 A，右焦点 )05(2 ，F 到渐近线的距离为 4，直线 l与双曲线 C交于 P、Q两点，且 P、Q均不是双曲线的顶点，M为 PQ的中点． （1）求双曲线的方程； （2）当直线 PQ与直线 OM的斜率均存在时，设斜率分别为 k1、k2，求 k1k2的值； （3）若 2 1  PQ AM ，试探究直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 4 页 共 26 页 变 2 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 经过点 )02(1 ，A ， )04(1 ，A ， )322(3 ，A ， )322(4 ，A ， )33(5 ，A 中的 3个点． （1）求双曲线 C的方程； （2）已知点 M，N是双曲线 C上与其顶点不重合的两个动点，过点 M，N的直线 l1，l2都经过双曲线 C 的右顶点，若直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2＝1，判断直线 MN是否过定点，若过定点，求出该 点的坐标；若不过定点，请说明理由． 变 3 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： 过点 )423( ，P ，且 C的渐近线方程为 xy 3 4  ． （1）求 C的方程． （2）A，B为 C的实轴端点，Q为 C上异于 A，B的任意一点，QA，QB与 y轴分别交于 M，N两点， 证明：以 MN为直径的圆过两个定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 5 页 共 26 页 变 4 已知双曲线 )00(12 2 2 2  ba b y a xC ，： ，四点 ) 3 24(1 ，M ， )23(2 ，M ， )3 32(3  ，M ， )3 32(4 ，M 中恰有三点在 C上． （1）求 C的方程； （2）过点（3，0）的直线 l交 C于 P，Q两点，过点 P作直线 x=1的垂线，垂足为 A．证明：直线 AQ 过定点．